Teoría de la cantidad de movimiento. Límite de Betz

La teoría de Cantidad de Movimiento supuso una primera aproximación sencilla al problema de un rotor inmerso en una corriente de aire y proporciona una información muy útil para comprender el fenómeno de la energía que lleva el viento que pasa a través de la superficie barrida por las palas de un aerogenerador.

Como resumen yo 

Hipótesis simplificativas:
 o El aire es considerado como un fluido ideal sin viscosidad en todo el campo fluido excepto en las proximidades del rotor.

 o El fluido es considerado incompresible. El viento se moverá a régimen subsónico, por tanto, la densidad podemos tomarla como constante. Y no sufrirá variación de temperatura.

 o El estudio se realizará en régimen estacionario. Las variables dependerán del punto de trabajo que se tome y no del tiempo.

 o No se considera la velocidad de giro del rotor ni la de su estela.

 o Se considera al rotor como un disco poroso fijo, compuesto por infinitas palas de espesor despreciable.

 o Las magnitudes empleadas para representar las  variables fluidas en una sección recta determinada del tubo de corriente considerado son magnitudes equivalentes de su perfil de distribución a lo ancho de dicha sección considerada.

En el aerogenerador se transforma energía cinética del viento (velocidad del viento) en energía mecánica (rotación de las palas), de tal forma que el viento sale con menos velocidad tras pasar a través del área barrida por las palas

 
Al reducirse la velocidad del viento, por la ecuación de continuidad del movimiento, el área ocupada por esa cantidad de viento aumenta y la presión se iguala a la presión del aire antes del aerogenerador.
  

Ec. de continuidad:       A1·v1 = A2·v2    (1)

La masa de aire en el disco definido por el área barrida por las palas:


Gasto másico:               G = ρ·A·v  (2)

Fuerza sobre el rotor:    F = m·a
                                         F = G·Dv = ρ·A·v·(v1 – v2)  (3)

                                         F = A·(p+ - p-)  (4)

Ec. de Bernoulli:

Entre A1 y la sección anterior del disco      p1+1/2⋅ρ⋅v12 = p+ +1/2⋅ρ⋅v2  (5)

Entre la sección posterior del disco y A2    p2+1/2⋅ρ⋅v22 = p- +1/2⋅ρ⋅v2  (6)

Presiones:                                   p1 = p2  (7)

Restando (5)-(6)                          p+ - p- = 1/2⋅ ρ⋅(v12 - v22)

La fuerza sobre el rotor será       F = 1/2⋅(v12 - v22) = v⋅(v1 - v2)

Despejando v se obtiene             v = 1/2⋅( v1 + v2).

La potencia absorbida por el rotor será el producto de la fuerza ejercida por el viento sobre el rotor por la velocidad del fluido en el rotor.

P = F⋅v = ρ⋅A⋅(v1-v2)⋅1/2⋅(v1+v2) = ρ⋅A⋅1/2⋅(v1+v2)⋅1/2⋅(v12-v22),

donde:

 ρ⋅A⋅1/2⋅(v1+v2)     es el gasto másico a través del rotor y

1/2⋅(v12-v22)     es la pérdida de energía cinética por unidad de masa de viento entre las secciones 1 y 2.

Sea    k = v2 / v1  ⇨  P = 1/4⋅ρ⋅A⋅v13⋅(1 + k)⋅(1 - k2)

Para obtener la potencia máxima derivamos respecto a k e igualamos a cero:  dP/ dk = 0

Se llega a la ecuación de segundo grado, 3⋅k2+2⋅k-1=0, que resolviendo y tomando la solución positiva se deduce  k=1/3

Si calculamos el factor de potencia, Cp = P/P0     donde      P0 = 1/2 ⋅ ρ⋅A⋅v13

se llega a una expresión para Cp:    Cp = 1/2⋅(1+k)⋅(1-k2)

Hallamos el máximo de la función    Cp = f(k), dando el resultado:

Cpmax = 16/27 , LIMITE DE BETZ

Por tanto, la potencia del viento máxima utilizable: